数学之理

抽象与形式化思想

向量空间的公理化定义：将向量从几何意义推广到一般的代数结构
线性变换：将函数抽象为矩阵运算，使其易于计算和推广

结构与分类思想

矩阵的(LU、QR、SVD)分解：将矩阵按照不同的性质进行分解，以便求解方程或降维

变换与不变性思想

矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩
矩阵相似变换：在不同的基下表示同一个线性变换，其特征值不变

归纳与递推思想

行列式的递归定义
Gram-Schmidt 正交化过程：通过递归构造正交基

统筹与优化思想

高斯消元法：通过行变换减少计算步骤，提高求解方程组的效率
最小二乘法（Least Squares）：在数据拟合和信号处理中的优化方法

计算与算法思想

迭代法求解线性方程组（Jacobi、Gauss-Seidel方法）
特征值分解算法（QR 分解、幂法）

数学之美

对称美

对称矩阵、反对称矩阵、二次型

代数结构美

实对称矩阵的变换可分解为正交基（不改变长度和角度）与缩放（特征值）的组合，体现了对称性与正交性的统一

数学之用

工程实践中的应用

基变换在机械臂控制中的应用

密码学中的应用

矩阵乘法在图像加密的应用

逆矩阵在图像解密中的应用

计算机图形学
中的应用

利用矩阵变换（旋转、平移、缩放）处理三维模型渲染

线性代数中的矩阵分解处理图像压缩问题

数学之魂

数学家精神品质

逆矩阵的华罗庚等式

文化自信

通过中国古代数学成就，如《九章算术》中的线性方程组，引导学生理解“方程组解法”的文化传承与民族自信